Actualmente la teoría de juegos es uno de los principales campos de investigación de la economía, pero su campo de aplicación es enorme y va desde la economía a la biología y las ciencias sociales. Su aplicación en el mundo real se manifiesta en situaciones en las que, al igual que en los juegos, el resultado de una acción depende de la decisión o conjunto de decisiones que cada participante toma en el transcurso de un determinado lapso.

La teoría de juegos es una herramienta que permite examinar el comportamiento estratégico de los participantes los cuales actúan motivados por la maximización de sus utilidades, y suponen que los otros participantes son racionales.

En la teoría de juegos:

Origen de la teoría de juegos:

La Teoría de Juegos fue desarrollada inicialmente en 1937 por el gran matemático húngaro John von Neuman (1903-1957). Años más tarde su propio creador Neuman, Oskar Morgenstern, John Nash, A.W. Tucker entre otros hicieron grandes contribuciones para ampliar dicha teoría.

Tal como lo expone Federico Anzil (2005) en su artículo sobre el tema, la teoría de los juegos es una rama de la matemática que tiene múltiples aplicaciones en diversos campos, entre ellos se puede citar la economía, la sociología, la biología y la sicología, entre otros, que analiza las interacciones entre individuos que toman decisiones en una marco de incentivos formalizados (juegos). La mayoría de las situaciones estudiadas por la teoría de juegos implican conflictos de intereses, estrategias y trampas, que se aplican en diversas situaciones, y que se dan por un objetivo en especifico.

Básicamente es una herramienta que permite estudiar, analizar y predecir el comportamiento esperado de los individuos que interactúan en un juego, lo cual es conocido como comportamiento estratégico, los cuales deben tomar ciertas decisiones que determinarán los resultados que obtendrán. El principal objetivo de cada jugador es maximizar su utilidad, la cual es determinada por los cursos de acción que hayan escogido. De particular interés son las situaciones en las que se puede obtener un resultado mejor cuando los jugadores cooperan entre sí, en lugar de procurar sólo maximizar su propia utilidad.

¿Qué es un juego?

En este contexto se dice que un juego incluye dos o más tomadores de decisiones que buscan maximizar su beneficio. Un juego tiene tres características básicas, a saber:

Ejemplo 1: El dilema de los prisioneros (adaptado de Parkin, 2004):

Chómpiras y Botija son dos delincuentes que fueron sorprendidos robando un auto. Por este delito recibirán 2 años de sentencia cada uno. Pero, además se sospecha que estaban involucrados en un robo a un banco, del cual no se tiene evidencias y se quiere que confiesen.

El fiscal plantea entonces las siguientes reglas:

Ante estas condiciones, entonces cada jugador (los delincuentes, en este caso) disponen de las siguientes acciones posibles (estrategias):

Así, existen cuatro resultados posibles:

Lo cual da a su vez un conjunto de recompensas, las cuales se muestran en una matriz de recompensas. La matriz de recompensas o matriz de resultados de un juego consiste en una matriz que presenta las opciones disponibles y los posibles resultados del juego según cada elección. Gráficamente se representa como la siguiente tabla en donde se muestra los posibles resultados de un juego simple entre dos jugadores:

 

También es posible representar el juego en forma extensiva o como un árbol. Fisher establece que un juego en forma extensiva se compone de los siguientes elementos:

Árbol de juegos: El árbol de juegos es una representación gráfica que describe la estructura total de un juego. Está compuesto por:

Tipos de juegos:

Existen diversas formas de clasificar los juegos. Algunos de los tipos de juegos más importantes son:

Estos criterios sirven para obtener la solución de un juego y determinar la estrategia óptima de un jugador:

Si el valor maximín del primer jugador es igual al mínimax del segundo jugador, entonces el juego es de estrategia pura (existe un punto de silla de montar). El valor del juego para el primer jugador es su valor maximín.

Ejemplo 2: Dos gasolineras se encuentran una frente a la otra.

Los consumidores están pendientes del precio y cada gasolinera debe decidir si cobra un precio alto o uno bajo. La matriz de recompensas es la siguiente:

 

Resolviendo y aplicando los criterios maximín y minimax:

 

Dado que el valor maximín del primer jugador es igual al mínimax del segundo jugador, entonces el juego es de estrategia pura (existe un punto de silla de montar). Ambos ugadores escogen bajar sus precios. El valor del juego para el primer jugador es 0 y para el segundo jugador también.

Juegos de estrategia mixta:

Los juegos de estrategia mixta no tienen un punto de silla de montar (el valor minimax de un jugador no es igual al maximín del otro).

Ejemplo 3: Suponga el siguiente juego:

 

Resolviendo y aplicando los criterios maximín y minimax:

 

Se observa que el valor minimax de un jugador 2 no es igual al maximín del jugador 1. El jugador 2selecciona la estrategia A y el jugador 1 la estrategia X.

Juegos con Pagos Cualitativos:

En muchas ocasiones la variable considerada no es cuantitativa, sino cualitativa. Este podría ser el caso de considerar, por ejemplo, la satisfacción que se obtiene al consunir un bien. Una alternativa en estos casos es emplear alguna escala subjetiva para asignar algún valor a cada resultado.

Ejemplo 4:

Gerardo desea ir a pasear con su novia, Andrea, pero el prefiere la playa y ella la montaña. Ambos obtendrán distintos niveles de satisfacción en cada caso. Si están tratando de tomar la decisión podrían idear una escala para asignar un cierto grado de satisfacción y luego tomar la decisión:

 

Estrategias Dominates:

Se dice que una estrategia domina a otra, si todos los resultados de esta estrategia son preferibles a los resultados de la otra estrategia, independientemente de lo que haga el oponente. Si cada jugador tiene una estrategia dominante es posible predecir el resultado del juego.

Ejemplo 5: Observe la siguiente matriz de resultados:

Independientemente de lo que haga el Jugador 1, para el jugador 2 siempre será preferible la estrategia X. Se dice que la estrategia X domina a la estrategia Y. el jugador 2 nunca escogerá la estrategia Y.

Equilibrios de estrategia dominante y Equilibrio de Nash:

Existe un equilibrio de estrategia dominante cuando hay una estrategia dominante para cada jugador. El equilibrio de Nash fue formulado en 1951 por el matemático norteamericano John Nash. Existe un equilibrio de Nash cuando se presenta un par de estrategias (a*, b*) en un juego de dos jugadores, en las que a* es una estrategia óptima para A frente a la estrategia b* y b* es una estrategia óptima para B frente a la estrategia a*. El equilibrio de Nash se diferencia del equilibrio de las estrategias dominantes en que, en el equilibrio de las estrategias dominantes, se exige que la estrategia de A sea óptima en el caso de todas las elecciones óptimas de B, y viceversa. El equilibrio de Nash es menos restrictivo: el equilibrio se da si A representa la mejor estrategia del jugador 1 cuando el jugador 2 juega B, y B representa la mejor estrategia de 2 cuando 1 juega A.

Si el equilibrio de Nash está presente en un juego, aún cuando uno de los jugadores revele la estrategia que uilizará, el hecho de conocerla no beneficia al otro. Esto no sucede igualmente en estrategias de no equilibrio, pues si uno de los jugadores sabe cuál será la estrategia del otro, puede beneficiarse de ese conocimiento y tomar ventaja e incluso perjudicar al otro jugador (Nicholson, 2001). Un juego puede tener más de un equilibrio de Nash así como también existen juegos en los no existe un equilibrio de Nash.

Ejemplo 6: Retomando el ejemplo del dilema de los prisioneros, cuya matriz de recompensas se muestra a continuación:

Este caso del dilema de los prisioneros permite ejemplificar un juego sin transferencia de utilidad, ya que los prisioneros no pueden comunicarse y llegar a acuerdos previos. De igual manera evidencia la presencia de estrategias en equilibrio pues la mejor estrategia para ambos sería no confesar, de modo que alcanzaran el mejor resultado posible (maximización de su utilidad) pues tendrían que cumplir una condena de tan sólo 1 año, sin embargo, está no es la estrategia óptima para cada jugador de manera individual (equilibrio de Nash), ya que no puede estar completamente seguro de la decisión que tomará el otro. Así, Chómpiras sabe que si Botija confiesa el delito, entonces sería mejor confesar ya que la pena de 3 años es menor que la pena de 10 años, y si Botija negara el crimen, entonces también sería mejor confesar ya que la pena de 1 año es preferible a la de 2 años. De ese modo, Chómpiras decide confesar. Analizando de modo similar para Botija, este también decide confesar.

En otras palabras, se dice que un conjunto de estrategias constituye un equilibrio de Nash si, manteniendo constantes las estrategias de los demás jugadores, ningún jugador puede obtener recompensa mayor eligiendo una estrategia distinta. Esto quiere decir que, en un equilibrio de Nash, ningún jugador quiere cambiar su estrategia, porque está empleando su mejor respuesta (aquella que maximiza su beneficio dadas sus creencias sobre las estrategias de sus rivales).

Muchas veces en un equilibrio de Nash la suma de los beneficios de los jugadores no es el máximo (como en el caso del dilema de los prisioneros). Esto se da, principalmente, en los juegos de un único período, debido a la falta de confianza entre los jugadores.

Aplicaciones en economía:

La Teoría de Juegos presenta aplicaciones directas en Economía. Tal como lo establece Felipe Costales (2000) esta ciencia se ocupa de la distribución de recursos escasos por lo que, si los recursos son escasos es porque hay más gente que los quiere de la que puede llegar a tenerlos. Este panorama proporciona todos los ingredientes necesarios para un juego.

Aunque los economistas siempre han tenido sustentos sobre la teoría de juegos, sólo podían analizar juegos particularmente simples debido a la falta de información e instrumentos. Esta deficiencia fue solucionada con los aportes de Von Neumann y Morgenstern. Esto explica por qué el monopolio y la competencia perfecta se consideran más simples que todas las demás variedades de competencia imperfecta que se dan entre estos dos extremos. El monopolio es considerado simple desde el punto de vista de la Teoría de Juegos porque puede ser tratado como un juego con un único jugador. En cuanto a la competencia perfecta se considera simple debido a que el número de jugadores es ilimitado, de manera que cada agente individual no es capaz de influir sobre el mercado si actúa individualmente.

Por otro lado, se pueden aplicar los fundamentos de la teoría de juegos para comprender cómo se fijan los precios en los oligopolios, en los cuales los resultados que obtiene cada empresa no dependen sólo de su decisión sino también de las decisiones de los competidores. El problema al que se enfrenta cada empresario implica una elección estratégica que puede ser analizada mediante la teoría de juegos. Para ejemplificar esta aplicación en la vida real Coll (2000) expone el siguiente caso:

Ejemplo 7: Dos empresas constituyen un duopolio local en el sector de los grandes almacenes. Cuando llega la época de las tradicionales rebajas, ambas empresas acostumbran a realizar inversiones en publicidad tan altas que pueden implicar la pérdida de todo el beneficio. Este año se han puesto de acuerdo y han decidido no hacer publicidad, por lo que cada una, si cumple el acuerdo, puede obtener unos beneficios en la temporada de $50 millones. Sin embargo una de ellas puede preparar en secreto su campaña publicitaria y lanzarla en el último momento con lo que conseguiría atraer a todos los consumidores. Sus beneficios en ese caso serían de $75 millones mientras que la empresa competidora perdería $25 millones. Si ambas incumplen el acuerdo obtendrán beneficio $0. La matriz de recompensas es:

Este caso al igual que el dilema del prisionero muestra las dificultades para establecer la colaboración en cualquier situación en la que hacer trampa beneficia a las partes.

Este ejemplo es ideal para demostrar las situaciones en la que los equilibrios competitivos pueden llevar a resultados ineficientes. Ilustra la situación que motica la existencia de cárteles. En un cártel, las empresas se coalicionan (hacen un acuerdo de colusión) para, generalmente, reducir su producción y así poder aumentar el precio y a la vez sus beneficios (aunque el acuerdo puede ser sobre otros aspectos). Sin embargo, cada empresa por su parte tiene incentivos que las tientan a producir más de lo que fijaba el acuerdo y así vender más de lo acordado a los altos precios que resultan de los cárteles, para de ese modo obtener mayores beneficios. Pero, si cada una de las firmas hace lo mismo, el precio va a disminuir, lo que resultará en menores beneficios para cada una (Nicholson, 2001).

Cuando el juego se puede repetir sucesivamente (múltiples períodos) entonces es más probable lograr un acuerdo de colusión. En un juego con múltiples períodos, cada empresa puede influir sobre el comportamiento de su rival mediante la señalización o la amenaza de un castigo. Aun así, esto no garantiza que la colusión tenga éxito, ya que por ejemplo, en un juego de n períodos, los jugadores estarán interesados en cumplir las reglas hasta el período n-1, pues en el último período la amenaza de castigo no tendría sentido. La mayor parte de los carteles fracasan, ya que muchos gobiernos los prohíben o porque sus miembros hacen trampa.

¿Cómo opera un cartel y cómo obtiene sus ganancias?

Ejemplo 8: Suponga que se tiene dos empresas A y B que producen un bien X. Ambas operan en condiciones de competencia y sus estructuras de costos son exactamente iguales, según lo muestra el gráfico:

Obsérvese que en condiciones competitivos el mercado fija el precio de $10 por unidad, para una producción total de 200 unidades, repartidas por partes iguales entre las dos empresas. Bajo estas circunstancias los beneficios de cada una son nulos.

Las empresas deciden realizar un acuerdo de colusión, ya que podrían elevar el precio si restringen la oferta. Decide que , actuando como monopolio deberían producir 120 unidades (CM = IM), las cuales producirán 60 cada empresa y a un precio de $15 cada una. Así, cada empresa logra producir sus 60 unidades a un costo medio de $13 cada una y obtiene, en consecuencia, un beneficio total de $120.

Sin embargo, es evidente que el acuerdo de colusión pactado lleva implícito un incentivo a incumplir el acuerdo, es decir, hacer trampa. Si la empresa A decidiera hacer trampa y produjera 100 unidades, reduciría sus costos medios a $10 y obtendría una ganancia mayor. En estas condiciones la empresa A produce 100 unidades y la empresa B produce 60 (cumple el acuerdo). La producción total es de 160 unidades y el precio baja a $12,5. La empresa A obtiene un beneficio total de $250

BT = Q(P - CMe) = 100 (12,5 - 10) = 250

Y la empresa B obtiene una pérdida de $30:

BT = Q(P - CMe) = 60 (12,5 - 13) = -30

Ahora bien, esta situación podría llevar a ambas empresas a hacer trampa, es decir, cada una produce 100 unidades, para una producción total de 200 unidades, lo que reduce el precio a $10 por unidad y se obtiene el mismo resultado que en competencia, beneficios totales nulos.

Los resultados pueden ser resumidos en la siguiente matriz de recompensas.

El equilibrio de Nash de dicho juego es que cada empresa haga trampa y por tanto el cartel fracasa.

El Premio Nobel en Economía 2005: Robert J. Aumann y Thomas C. Schelling

En las relaciones económicas son muy frecuentes las situaciones en las que, al igual que en los juegos, su resultado depende de la conjunción de decisiones de diferentes participantes o jugadores. La evidencia más reciente de la aplicación de esta teoría en la realidad actual y mundial, se muestra en los trabajos de los economistas ganadores del Premio Nobel de Economía 2005, el cual fue otorgado al matemático israelí Robert J. Aumann y al economista estadounidense Thomas C. Schelling por utilizar la "Teoría de juegos" para explicar y facilitar la resolución de conflictos. Su trabajo ayudó a entender y resolver todo tipo de conflictos, desde las disputas comerciales, el crimen organizado, las decisiones políticas y las negociaciones salariales, hasta las guerras y la discriminación racial y sexual.

David Leal (2005) destaca que, los aportes en el terreno económico de ambos expertos contribuyeron a explicar las guerras comerciales y de precios entre empresas, y las ventajas de la cooperación en relaciones a largo plazo. Según Coll (2001), la teoría de juegos ha alcanzado un alto grado de sofisticación matemática y ha mostrado versatilidad en la solución de problemas, lo que se ha puesto en evidencia con los aportes de estos investigadores recién premiados. Por ejemplo, durante la Guerra Fría, que enfrentó a Estados Unidos con la Unión Soviética, Schelling utilizó los métodos de esta teoría para explicar los temas más importantes de la época, la seguridad global y la carrera armamentista que se había desatado. Además demostró que la capacidad de tomar represalias puede ser más útil que simplemente resistir un ataque, y que una amenaza imprecisa es más eficaz que una concreta, pues es mejor que el enemigo no sepa cómo será la venganza. Todo esto resultó de gran relevancia para la resolución de conflictos y los esfuerzos tendientes a evitar la guerra.

Por su parte, Aumann fue un pionero en el análisis de los llamados "juegos de repetición infinita", para explicar en qué condiciones resulta ventajosa la cooperación de grupos o personas. Además aplicó los métodos de la teoría para hallar las diferentes alternativas a que podría recurrir un país contra su enemigo en tiempos de conflicto, demostrando que la opción de la cooperación, en vez de la de la guerra, es más fácil de conseguir en las relaciones duraderas que en encuentros aislados. El análisis de Aumann explica por qué, cuando los actores solo pueden tener en cuenta el corto plazo, se cae en conflictos como las así llamadas guerras de precios o guerras comerciales, determinando que la cooperación suele ser normalmente "una solución de equilibrio" (la solución óptima para las dos partes y no solo para una) en juegos repetitivos a largo plazo entre grupos que, a corto plazo, tienen fuertes conflictos de intereses (Fonseca, 2005).

Referencias biliográficas:

En la elaboración de este material se agredece el aporte de los estudiantes Karen Alvarado Calvo, David Aguilar Badilla y Vladimir Rodriguez, quienes estudian la carrera de administración de negocios en la Universidad Latinoamericana de Ciencia y Tecnología (ULACIT, Costa Rica).